Нелинейные уравнения в частных производных, вязкостные решения
Рекомендовано для 4-6 курсов программы специалитета, 4 курса бакалавриата и 1-2 курсов программы магистратуры
Лекции
Язык: русский
Формат: онлайн
Семинары
Формат: онлайн
Лекции
Язык: русский
Формат: онлайн
Семинары
Формат: онлайн
Краткое содержание курса
- Принцип максимума для эллиптических уравнений. Метод Бернштейна. Метод Перрона. Обзор методов исследования нелинейных эллиптических уравнений с частными производными.
- Уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики и локальная разрешимость. Диффузионные процессы и вероятностные представления решений уравнений с частными производными.
- Определение вязкостных решений и их связь с классическими решениями. Замкнутость вязкостных решений относительно локально равномерных предельных переходов. Эквивалентное определение вязкостного решения в терминах джетов
- Принцип сравнения для вязкостных решений. Метод удвоения переменных. Формулировка Леммы Ishii. Структурные условия.
- Обоснование леммы Ishii: сведение к квадратичной форме, свойства выпуклых функций и «магические свойства» sup-свёртки. Применение принципа сравнения. Липшицевость и вогнутость вязкостных решений.
- Построение вязкостных решений методом Перрона. Применение к вырожденным эллиптическим уравнениям и коэрцитивным нелинейным уравнениям с частными производными первого порядка.
- Задача оптимального управления с бесконечным горизонтом. Принцип динамического программирования. Уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана и критерий оптимальности в терминах вязкостных решений.
- Построение и сходимость разностных схем для вязкостных решений.